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第一讲（集合）

作者：谭周滔    来源：本站原创    发布时间：2004年04月22日 点击数：

集合的运算性质：

幂等律：A∩A＝A A∪A＝A

同一律：A∩U＝A A∪U＝U　　　 A∩Φ＝Φ A∪Φ＝A

互补律：A∩(C_UA)＝Φ A∪(C_UA)＝U　 C_UU＝Φ C_UΦ＝U

交换律：A∩B＝B∩A A∪B＝B∪A

结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)

吸收律：A∩(A∪B)＝A A∪(A∩B)＝A

分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)

反演律(摩根律)：C_U(A∩B)＝(C_UA)∪(C_UB) C_U(A∪B)＝(C_UA)∩(C_UB)

基本知识：

1．有限集A的元素的数目叫做这个集合的阶． 记作：|A|(或card(A))．

2．若M是一些给定集合构成的集合，则称M为集族．若A为有限集，由A的若干子集构成的集合称为A的一个子集族． 显然若|A|＝n，则由A的所有子集构成的子集族的阶为2ⁿ．

3．集合的划分：所谓划分就是把一类事物(或对象)分成若干小类(或小块)，同时要求每两个小类中没有公共元素，而它们并在一起即是原来的事物的全体．用集合的语言表述为：

定义1：设D＝{A₁, A₂, A₃,…, A_n}是集合A的非空子集族，如果：

A =A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n，那么D称之为集合A的一个n—覆盖．

定义2：若D＝{A₁, A₂, A₃,…, A_n}是集合A的一个n—覆盖，且满足

A_i∩A_j＝Φ(1≤i≤n)，则集合D为集合A的一个n—划分．

其中n叫做划分的长度．

4．有限集的划分与加法原理：集合的划分概念在解题中经常使用．分类的原则是：不重复不遗漏，这就是把问题所包含的对象看作一个集合，再把这个集合作一划分，然后分别对划分中的每一个子集进行讨论．

若A为有限集，D＝{A₁, A₂, A₃,…, A_n}是集合A的一个划分，则有

加法原理：|A|＝|A₁|+|A₂|+|A₃|+…+|A_n|．

5．有限集的覆盖与容斥原理：

(1) |A|＝|U|－|C_UA| (或|C_UA|＝|U|－|A|)；

(2) |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B| ；

(3) |A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|B∩C|－|C∩A|+|A∩B∩C| ；

(4)一般地：A为有限集D＝{A₁, A₂, A₃,…, A_n}一个覆盖，则：

|A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n|=

A_i|－ A_i∩A_j|+ A_i∩A_j∩A_k|+…+(－1)^n-1| A₁∩A₂∩A₃∩…∩A_n | ．

上面的(1)为容斥原理的最简形式，(4)则为最一般形式．显见，(2)、(3)仅为(4)的特例而已．

(通俗地讲，“容斥”就是排斥，先计算包容了的元素个数，当包容多了又排斥开某些元素，而排斥多了又要再包容……．所以有时容斥原理也称为取舍原理或逐步淘汰原理．)



知识应用：

1．区分集合：{x|x²－3x+2＝0} {x|x²－3x+2>0}

{x| y＝x²－3x+2} {y| y＝x²－3x+2} {(x,y)| y＝x²－3x+2}

2．设M＝{a|a＝x²－y²，x、y∈Z}，求证：

(1) 一切奇数属于M；(2) 偶数4k－2 (k∈Z)不属于M；(3) M对乘法封闭．

3．某班学生参加数理化三科考试，数、理、化优秀的学生依次为30人，28人，25人；数理、理化、数化两科都优秀的学生依次分别为20人，16人，17人；数理化三科全优的学生有10人，问数理两科至少有一科优秀的有多少人？数理化三科至少有一科优秀的有多少人？

4．(1) 设全集是实数集，若A＝{x| >0}，B＝{x| ＝10^x}，则A∩(C_UB)＝_{---------------------------------}．

(2) 若非空集合A＝{x|2a+1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A A∩B成立的所有a的集合是_{---------------------------------}．

(3) 集合M＝{u|u＝12m+8n+4l，其中m,n,l∈Z}，N＝{u|u＝20p+16q+12r，其中p,q,r∈Z}，则M、N的关系为_{---------------------------------}．

5．设集合A＝{x| ∈Z，x∈Z }试用列举法表示集合A．

6．设a,b,c都是实数，A＝{(a,b,c)|a²－bc－8a+7＝0}，

B＝{(a,b,c)|b²+c²+bc－6a+6＝0}，且A∩B≠Φ．

(1) 求a的取值范围； (2) 设y＝ab+bc+ca，试求y的最大值或最小值．


7．设a₁, a₂, a₃, a₄, a₅为自然数，A＝{ a₁, a₂, a₃, a₄, a₅}，

B＝{ a₁², a₂², a₃², a₄², a₅²}，且a₁< a₂< a₃< a₄< a₅，并满足A∩B＝{ a₁, a₄ }，a₁+a₄＝10，A∪B中各元素之和为256，求集合A．

8．已知A＝{(x,y)|x＝n, y＝an+b, n∈Z}，B＝{(x,y)|x＝m, y＝3m²+15, m∈Z}，

C＝{(x,y)|x²+y²≤144}是坐标平面内的点集，问是否存在实数a，b使得(1) A∩B≠Φ；(2) (a,b)∈C同时成立．

9．设n≥15，n∈N^*，集合A、B都是U={1,2,3,…,n}的真子集，且A∩B＝Φ，A∪B＝U，证明：集合A或者B中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数．

10．已知集合S中有10个元素，每个元素都是两位数，求证：一定可以从S中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素和相等．

11．在小于1000的正整数中，既不能被5整除也不能被7整除的数有多少个？

练习：

1．A＝{x|x²+px+q＝0}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝{1,4,7,10}，且A∩B＝Φ，A∩C＝A，求p、q的值．

2．设A＝{x|－1<a}，如果{y| y＝x+1, x∈A}＝{y| y＝x², x∈A}，求a的值．

3．设函数f(x)＝x²+ax+b，A＝{x|f(x)＝x，x∈R}，B＝{x|f(f(x))＝x，x∈R}，证明：A B，并在A＝{-1，3}时，求出集合B．

4．在1,2,3,…,1000中，有多少个既不是2的倍数，又不是5的倍数的正整数？

5．设M＝{1,2,…,1995}，A M，且当x∈A时，15x∈A，求|A|的最大值．

6．某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生22名，参加物理课外小组的学生18名，同时参加数学、物理两个课外小组的有13名．问(1)数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少名？(2)两个小组都不参加的有多少名？