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第二讲（函数）

作者：谭周滔    来源：本站原创    发布时间：2004年04月22日 点击数：

　　函数是高中数学的一条主线，也是数学竞赛命题的重要内容．尤其是函数的有关性质如有界性、单调性、奇偶性、周期性以及图形的对称性等是利用函数解决数学问题的主要理论基础，其应用也体现了一种解题策略：即将静态的数学问题放到一个动态的过程中去考察，将局部的问题放置于整体的环境中来解决．

基本性质

1．单调性

复合函数y=f(φ(x)) (u=φ(x))的单调性：

(1) 若y=f(u)与u=φ(x)单调性相同，则F(x)=f(φ(x))是增函数；

(2) 若y=f(u)与u=φ(x)单调性相反，则F(x)=f(φ(x))是减函数．

2．奇偶性

若函数y=f(x)对定义域内一切x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=－f(x))，则称y=f(x)为偶函数(或奇函数)．

奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域．

奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称．

3．周期性

函数y=f(x)满足：对定义域内任意x，存在常数T≠0，使f(x+T)= f(x)恒成立，则称y=f(x)为周期函数，T为y=f(x)的周期．

(1) 周期函数的定义域是无界的；

(2) 若T为y=f(x)的周期，则nT(n∈Z，且n≠0)均为y=f(x)的周期；

(3) 设f(x)是非常数的周期函数，且定义域为D，若f(x)在x₀∈D处连续，则f(x)有最小正周期；

(4) 若函数y=f(x)有最小正周期T，那么它除nT(n∈Z，且n≠0)外，函数f(x)无其他周期．

4．图象的对称性

若函数y=f(x)对定义域内一切x，有

(1) f(-x)= f(x)，则函数图象关于y轴对称；

(2) f(-x)=－f(x)，则函数图象关于原点对称；

(3) f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)(a为常数)，则函数图象关于x=a对称；

(4) y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称；y=f(x)与y=－f(x)关于x轴对称；y=f(x)与y=－f(-x)关于原点对称；


知识应用

1．若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)= ，则f( )，f( )，f( )由小到大排列是_______________．


2．已知定义在闭区间[0，3]上的函数f(x)=kx²－2kx的最大值为3，则实数k的值是__________________．


3．若a∈Z，关于x的方程||x－1|－2|=a只有三个不同的整数解，那么这三个解是____________________．


4．设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f­(x)，当0≤x<1时，f(x)=x，则f(7.5)=_____________．

5．若f(x)= (x+|x|)，则f(f(x))=_____________________．


6．设f­₀(x)=|x|，f­₁(x)=|f­₀(x)－1|，f­₂(x)=|f­₁(x)－2|，则函数y=f­₂(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是______________．


7．设x是实数，且f(x) =|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|．求f(x)的最小值．


8．函数f(k)是定义在正整数集N₊上，在N₊中取值的严格增函数，且满足条件f(f(k))= 3k，试求f(1)+ f(9)+ f(96)的值．

9．解不等式： > ．

10．已知函数f­(x)定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有f(x)=f(x-1)+ f(x+1)．若f(0)=1992，求f(1992)的值．

11．若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，且关于点M(b,c)对称，求证：f(x)是周期函数．

12．设S表示所有大于－1的实数构成的集合，确定所有的函数f：S→S，满足以下两个条件：

(1) 对于S内的所有x和y，有f(x+f(y)+xf(y))= y+f­(x)+yf­(x)；

(2) 在区间－1<x<0与x>0的每一个x， 是严格递增的．

课后练习

13．若函数f(x)和g(x)在R上有定义，且f(x-y)=f(x)g(x)－g(x)f(y)，f(-2)=f(1)≠0，则g(1)+g(-1)=_________________．

14．设函数f(x)对一切实数x都满足f(6+x)=f(-2-x)，方程f(x)=0恰有5个不同实根，则这5个实根的和是_____________________．

15．已知定义在R上且周期为T的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)和f(8+x)=f(8-x)，则T的最大值为___________________．

16．对于任意函数f(x)，在同一直角坐标系中，函数y₁= f(x-19)与函数y₂= f(99-x)的图象恒关于直线l对称，则l为_____________________．

17．已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)+g(x)=H(x)，则f(x)-g(x)=_________________________．

18．设函数f(x)= ，那么和式f( )+f( )+f( )+…+f( )的值等于____________________．

19．已知a,b,c∈(-1,1)，求证：abc+2>a+b+c．

20．设A= － ，求证： 是整数．