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高二数学同步测试（1）— 平面的基本性质，两直线的位置关系

作者：老子    来源：本站原创    发布时间：2005年05月30日 点击数：

高二数学同步测试（1）— 平面的基本性质，两直线的位置关系

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（本题每小题5分，共50分）

1．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）

A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内

C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内

2．在空间中，下列命题正确的是 （ ）

A．对边相等的四边形一定是平面图形

B．四边相等的四边形一定是平面图形

C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形

D．有一组对角相等的四边形是平面图形

3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是 （ ）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

5．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，

那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）

A．90° B．45°

C．60° D．30°

6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ）

A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面

7．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）

A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[60°，120°]

N D C M E A B F

8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线；

③ CN与BM成 角； ④ DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）

A．①②③ B．②④

C.③④ D．②③④

9．梯形ABCD中AB//CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位

置关系只能是 （ ）

A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交

10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EB＝AF ：FD

＝1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ）

A．BD//平面EFGH且EFGH是矩形 B．EF//平面BCD且EFGH是梯形

C．HG//平面ABD且EFGH是菱形 D．HE//平面ADC且EFGH是平行四边形

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题（本题每小题6分，共24分）

11．若直线a, b与直线c相交成等角，则a, b的位置关系是 ．

12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 ．

13．在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与 A₁D所成的角的余弦值为 ．

14．把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，

使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC

和BD的距离为 ．

三、解答题（共76分）

15．（12分）已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线 .




16．（12分）在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足

=k.求证：M、N、P、Q共面.

17．（12分）已知：平面

求证：b、c是异面直线

18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，

并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF= ，求AB和CD所成角的大小.



19．（14分）四面体A-BCD的棱长均为a，E、F分别为楞AD、BC的

中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．

20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的

中点.

（1）求证：四边形B′EDF是菱形；

（2）求直线A′C与DE所成的角；

参考答案（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	D	C	D	C	B	D	A	C	B	B

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．平行、相交或异面 12． 13． 14．

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．(12分) 证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点

∴由A、B、C确定一个平面 , 又

16．(12分) 证明：∵AM∶MB=CN∶NB

α

β

a

b

A

c

∴MN∥AC ∵DQ∶QA=DP∶PC ∴PQ∥AC∴MN∥PQ ∴M、N、P、Q共面.

17．(12分) 反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

18．(12分) 解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，

连结EG、FG，在△BCD中，∵ ∴EG∥CD

同理FG∥AB

∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD

所成的角.

在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2 ∴EG=1

在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3 ∴FG=2

在△EFG中，EG=1，FG=2，EF= ，由余弦定理，得

∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.

19．（14分）

解： 连接FD，在面AFD内过E作EO∥AF交FD于O，则∠OEC为异面直线AF与CE的所成角.

且O为DF的中点。又∵E为AD的中点，∴EO= .

∵⊿ABC和⊿ACD均为等边三角形，且边长为 AF、CE分别是它们的中位线，

A

B

C

D

E

F

O

∴ ，在Rt⊿DFC中，

.

在⊿OEC中，

.

即异面直线AF与CE所成的角的余弦值为 .

20．(14分)

（1）证明：由题目中图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,

下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG AB A′B′知，

B′EGA′是平行四边形.

∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面

故四边形B′EDF是菱形.

（2）解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，

则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.

在△A′CP中，易得A′C= a，CP=DE= a，A′P= a

由余弦定理得cos∠A′CP= ，故A′C与DE所成角为arccos .